Create a map of an area with an array of microphones that detect the location of sounds.
Can you calculate the position of sounds based on the frequency lectures of each microphone?
You can make a simulation and graph the results.
Tomamos 4 puntos no colineales $a, b, c$ y $f$.
Considerando $t_a,t_b,t_c$ y $t_f$ como los tiempos en los que llega un sonido a cada uno de los puntos, podemos expresar la distancia del sonido a cada punto de la siguiente manera:
$$ d_a = \sqrt{(x-a_x)^2 + (y-a_y)^2}\\ d_b = \sqrt{(x-b_x)^2 + (y-b_y)^2} \\ d_c = \sqrt{(x-c_x)^2 + (y-c_y)^2} \\ d_f = \sqrt{(x-f_x)^2 + (y-f_y)^2} $$
Con $x$ e $y$ la posición del sonido.
También podemos expresar $d_a$ como $V(t_a - t_0)$ con $t_0$ el tiempo desconocido en el que se originó el sonido y $V$ la velocidad del sonido. Esto es válido para todas las otras distancias, por lo tanto:
$$ d_a = V(t_a -t_0)\\ d_b = V(t_b -t_0)\\ d_c = V(t_c -t_0)\\ d_f = V(t_f -t_0)
$$
Despejando por $t_0$ podemos llegar a que $\frac{d_i}{V} - t_i = \frac{d_j}{V} - t_j$ para todo par $i,j$ en $\{a,b,c,f\}$. De esto podemos extraer lo siguiente:
$$ d_i = V(t_i-t_j) + d_j $$
Para todo par $i,j$ en $\{a,b,c,f\}$.
Incorporando las ecuaciones anteriores de distancia podemos concluir que la siguiente igualdad también se cumple:
$$ \sqrt{(x-i_x)^2 + (y-i_y)^2} = V(t_i - t_j) + \sqrt{(x-j_x)^2 + (y-j_y)^2} $$
Despues basta resolver el siguiente sistema de ecuaciones para encontrar $x$ e $y$:
$$ \sqrt{(x-a_x)^2 + (y-a_y)^2} = V(t_a - t_b) + \sqrt{(x-b_x)^2 + (y-b_y)^2}\\ \sqrt{(x-a_x)^2 + (y-a_y)^2} = V(t_a - t_c) + \sqrt{(x-c_x)^2 + (y-c_y)^2}\\ \sqrt{(x-a_x)^2 + (y-a_y)^2} = V(t_a - t_f) + \sqrt{(x-f_x)^2 + (y-f_y)^2} $$
Este sistema de ecuaciones tiene 2 variables libres y presenta 3 ecuaciones linealmente independientes por lo que se puede llegar a una solución única. (por qué son linealmente independientes, no lo sé, pero tampoco lo dudo). En teoría solo son necesarias dos ecuaciones para resolver el sistema pero eso deja casos en los que hay dos soluciones posibles, para evitar eso se incorpora la tercera ecuación.